「Aさん」＋give＋「Bさん」＋「C」の基本形に基づいて、日本語を介さずにイメージする練習をしてください。イメージが頭の中にできてから、日本語にしてください。

１. They gave their collection away to the museum.
　give away ... は「…をただであげる」の意。their collection が「C」、the museum が「Bさん」です。away は「離れたところに」という意味です。

　give はもともと、ただであげることを意味しています。これに away（自分から離れたところに）がついて、戻ってくることを期待していないことが強調されます。

２. Benedict Arnold gave away secrets during American Revolution.
　give away ... は「…を漏らす、…を裏切る」の意。競争相手や敵は、自分とは離れた所にいますね。この離れた敵に、away を使って与えることを表現した場合は「…を漏らす、…を裏切る」というイメージになります。

３. We were forced to give ground on the most pressing issue.
　give ground は「譲歩する」の意。敵の話のついでに、中世の戦いをイメージしてください。中世の戦いは土地（ground）の奪い合いでした。ground を取ったほうが勝ちです。give (him) ground は文字どおり土地を明け渡すことで、とても大きな譲歩を意味します。

４. Please give me your hand to get my bag.
　give ... a hand は「…に手を貸す」の意。目的語の「C」は your hand です。飛行機の添乗員にかばんをとってもらうシーンなどで使います。手を切り離して与えるわけはないですから、「手伝う」という意味になります。

５. Don't forget to give me a call if you come around here.
　give ... a call は「…に電話する」の意。「C」は a call（通話、電話の呼び出し）です。

　Don't forget to call me. でも同じ意味ですが、give me a call のほうが具体的に電話機を操作してこちらの電話の着信音を鳴らすイメージがわいてきます。Give me a call. と Give me a ring. は同じことですが、ring のほうが昔ふうの電話がリーンリーン鳴るイメージがわきますね。

６. The situation gave Ted pause and he held off resigning from his job.
　give ... pause は「ちゅうちょさせる」の意。「C」は pause（ポーズ）です。この場合、何かを思いとどまることです。ポーズは写真を撮るときの「はいポーズ」と同じです。

　脱線になりますが、この表現は、To be or not to be で始まる有名な『ハムレット』の第３独白に出てきます。『ハムレット』が書かれたのは400年以上も前の西暦1600年です。

　For in that sleep of death what dreams may come, must give us pause.（死後の眠りのなかでもいやな夢を見るかもしれないから、皆が［自殺を］思いとどまるのか）
　この pause は自殺を思いとどまることです。私は30年以上も前に読んだのですが、give pause からこの must give us pause のイメージがパッとわいてきました。イメージでとらえているといつまでも記憶に残る例だと思います。

７. I don't give a damn about her.
　not give a damn は「気にしない」の意。
　Damn!（くそ、ちきしょう）と使うように、damn は「くやしい感じ」のことです。

　give a damn は否定形で使い、「くやしい感じさえも持たない＝全然気にかけない」の意味です。I don't give a damn about her. は I don't give her a damn. と同じですが、会話では前者を使います。よく使う表現です。